Un modèle d'OpenAI a réfuté une hypothèse fondamentale de la géométrie discrète

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Un modèle d’OpenAI a réfuté une hypothèse fondamentale de la géométrie discrète

Depuis près de 80 ans, les mathématiciens se penchent sur une question d’une simplicité trompeuse : si l’on place n points dans le plan, combien de paires de points peuvent être séparées exactement d’une distance de 111 ?

Il s’agit du problème de la distance entre deux points dans le plan, posé pour la première fois par Paul Erdős en 1946. C’est l’une des questions les plus célèbres de la géométrie combinatoire, facile à formuler mais remarquablement difficile à résoudre. Dans leur ouvrage intitulé *Research Problems in Discrete Geometry* (Problèmes de recherche en géométrie discrète), publié en 2005, Brass, Moser et Pach le qualifient de « problème sans doute le plus connu (et le plus simple à expliquer) de la géométrie combinatoire ». Noga Alon, éminent spécialiste de la géométrie combinatoire à Princeton, le décrit comme « l’un des problèmes préférés d’Erdős ». Erdős avait même proposé une récompense financière pour toute personne qui résoudrait ce problème.

Cette démonstration constitue une étape importante pour les communautés des mathématiques et de l’IA.

Nous vous présentons aujourd’hui une avancée majeure concernant le problème de la distance unitaire. Depuis les travaux originaux d’Erdős, l’idée dominante était que les constructions en « grille carrée » décrites plus loin constituaient la solution pratiquement optimale pour maximiser le nombre de paires de points à distance unitaire. Un système interne d’OpenAI a réfuté cette conjecture de longue date, en fournissant une famille infinie d’exemples qui permettent une amélioration polynomiale. La preuve a été vérifiée par un groupe de mathématiciens externes. Ils ont également rédigé un article complémentaire qui explique leur raisonnement et fournit des informations supplémentaires ainsi que le contexte permettant de comprendre l’importance de ce résultat.

Ce résultat est également remarquable par la manière dont il a été obtenu. La démonstration a été obtenue à partir d’un nouveau modèle de raisonnement polyvalent, et non d’un système spécialement formé aux mathématiques, conçu pour explorer différentes stratégies de démonstration ou axé spécifiquement sur le problème de la distance unitaire. Dans le cadre d’une initiative plus large visant à déterminer si les modèles avancés peuvent contribuer à la recherche de pointe, nous l’avons évalué sur un ensemble de problèmes d’Erdős. Dans ce cas précis, il a généré une démonstration qui a permis de résoudre le problème en suspens.

Cette démonstration constitue une étape importante pour les communautés des mathématiques et de l’IA. C’est la première fois qu’un problème ouvert majeur, au cœur d’un sous-domaine des mathématiques, est résolu de manière autonome par l’IA. Elle démontre également la profondeur de raisonnement dont ces systèmes sont désormais capables. Les mathématiques offrent un banc d’essai particulièrement clair pour le raisonnement : les problèmes sont précis, les preuves potentielles peuvent être vérifiées et un long argument ne fonctionne que si le raisonnement tient du début à la fin. La méthode par laquelle le problème a été résolu est également remarquable. La preuve amène des idées inattendues et sophistiquées de la théorie algébrique des nombres à une question géométrique élémentaire.

Parallèlement, tim Gowers, médaillé Fields, écrit dans l’article complémentaire, qualifie le résultat de « une étape importante dans les mathématiques de l’IA ». Selon Arul Shankar, théoricien des nombres de premier plan, « à mon avis, cet article démontre que les modèles d’IA actuels vont au-delà de simples aides aux mathématiciens humains : ils sont capables d’avoir des idées ingénieuses originales, puis de les concrétiser ».

La preuve est disponible ici⁠ (ouvre dans une nouvelle fenêtre). L’article complémentaire rédigé par d’éminents mathématiciens externes est disponible ici⁠ (ouvre dans une nouvelle fenêtre). Vous pouvez y trouver une version abrégée de la chaîne de réflexion du système⁠ (ouvre dans une nouvelle fenêtre).

Construction précédemment connue de nombreuses distances unitaires à partir d’une grille carrée redimensionnée.

Difficile à ce stade de prédire tous les impacts de cette annonce.

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Via OpenAI : OpenAI